projection method

این یادداشت رو می‌نویسم تا مقالاتی که این چند وقته راجع به projection method خوندم رو جمع‌بندی کنم.
projection method یکی از روش‌هاییه که برای حل معادلات ناویر-استوکس غیر تراکم‌پذیر به کار میره. این روش توسط Chorin 1968 معرفی شد.
پایه این روش بر مبنای استفاده از Hodge decomposition قرار داره. این قضیه میگه هر میدان برداری مثل *u رو میشه به شکل زیر نوشت (Chorin & Marsden 1998):
u*=u+grad p
که u یه میدان برداری divegance free و p یه اسکالره.
تو روش projection method اول معادلات ناویر-استوکس به روش گام زمانی جزئی حل میشه تا به سرعتهای میانی برسیم که معادله بقا رو ارضا نمی‌کنن. بعد از دو طرف div می‌گیریم تا به معادله لاپلاس فشار برسیم.
در شبکه‌های staggered عملگر لاپلاسین میتونه به روش عادی گسسته بشه و مشکلی هم پیش نمیاد. (Kim & Moin 1985)
در شبکه‌های co-located میشه نشون داد که عملگر لاپلاسین باید با استنسیل بزرگتری گسسته بشه (Ferziger & Peric 1999). استفاده از این استنسیل بزرگتر موجب ایجاد نوسنات شطرنجی فشار میشه (Patankar 1985). روش‌های زیر برای حل مشکل نوسانات شطرنجی فشار وجود دارن:
۱- استفاده از همون استنسیل کوچیک برای شبکه‌های co-located: اولا معادله بقا به طور دقیق ارضا نمیشه و ثانیا مشکل ناپایداری داره (پایداری اونها خیلی به روش گسسته‌سازی وابستست). این روشها به approximate projection method معروفن. (Guy & Fogelson 2005)
۲- استفاده از ترم‌های فشار در گسسته سازی گرادیان سرعت میانی در معادله پواسون فشار (Rhie & Chow 1983). این روش به Momentum Interpolation Method یا MIM معروفه. مشکل این روش اینه که دیفیوزیوه و در نتیجه بقای انرژی جنبشی رو حفظ نمی‌کنه (Felten & Lund 2006). این مساله خودش رو تو تست کیس‌هایی مثل cavity flow که حل steady دارن نشون نمیده.
۳- فیلتر کردن نوسانات فشار. این روش هم دیفیوزیوه. علت دیفیزیو بودنش هم اینه که تو مرحله فیلترکردن نوسانات فشار گرادیان فشار تا حدی تغییر میکنه.
۴- یک نگاه به ایجاد نوسانات فشار شطرنجی آنست که دستگاه معادلات فشار فضای تهی غیر صفر بعدی دارد. برای نابود کردن این فضای تهی Shashank et al 2010 استفاده از یک سری معادلات اضافه که فضای تهی دستگاه معادلات فشار را span می‌کنند توصیه می‌کند. روش اخیر بقای جرم، ممنتوم و اندازه حرکت را تضمین می‌کند.

پیشنهاد میشه معادله پواسون فشار به کمک یه سری fictitious time step میانی حل بشه و بعد برای نابود کردن نوسانات فشار از روش چهارم استفاده بشه.